Question

如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6

（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE相似△CAG
（2）正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE=3tan∠CAG

Answer 1

（1）、证明：

利用勾股定理可求得AC=6√2，EC=4√2，AG=2√10，BE=2√5，AE=2√2

所以：有AB/AC=AE/CG=BE/AG=(√2)/2

所以：△ABE∽△CAG 

（2）、设FC=x，则：

tg∠ABE=BF/EF=(6-x)/x

tg∠CAG=(EC/2)/[(EC/2)+AE]=[(√2)x/2]/[6(√2)-(√2)x/2]=x/(12-x)

所以：3tg∠CAG=3x/(12-x)

由题意得：(6-x)/x=3x/(12-x)

解得：x=3，x=-12<0(不合题意舍去）

所以：正方形EFCG的边长是3时，tan∠ABE=3tan∠CAG