Question

一道数学题，求高手详解！

甲乙两支球队比赛，若某队先胜4场则比赛结束，若两支球队每场获胜的概率都是1/2,试求所需比赛场数的数学期望

Answer 1

甲胜四场,乙未胜一场的概率:(1/2)^4=1/16
甲胜四场,乙胜一场的概率(即乙在前四场中胜过一场):(1/2)^5*4=1/8
甲胜四场,乙胜两场的概率(即乙在前五场中胜过二场):(1/2)^6*((5*4)/(2*1))=5/32
甲胜四场,乙胜三场的概率(即乙在前六场中胜过三场):(1/2)^7*((6*5*4/3*2*1))=5/32
乙胜四场,甲胜三场(类似甲四乙三):5/32
乙胜四场,甲胜两场(类似甲四乙二):5/32
乙胜四场,甲胜一场(类似甲四乙一):1/8
乙胜四场,甲未胜一场(类仿甲四乙零):1/16

(1/16+1/8+5/32+5/32)*2=100%

四场结束比赛的概率: (1/16)*2=1/8
五场结束比赛的概率: (1/8)*2=1/4
六场结束比赛的概率: (5/32)*2=5/16
七场结束比赛的概率: (5/32)*2=5/16

4*1/8+5*1/4+6*5/16+7*5/16=93/16=5.8125场

所需比赛场数的数学期望是5.8125场

Answer 2

甲胜四场,乙未胜一场的概率:(1/2)^4=1/16
甲胜四场,乙胜一场的概率(即乙在前四场中胜过一场):(1/2)^5*4=1/8
甲胜四场,乙胜两场的概率(即乙在前五场中胜过二场):(1/2)^6*((5*4)/(2*1))=5/32
甲胜四场,乙胜三场的概率(即乙在前六场中胜过三场):(1/2)^7*((6*5*4/3*2*1))=5/32
乙胜四场,甲胜三场(类似甲四乙三):5/32
乙胜四场,甲胜两场(类似甲四乙二):5/32
乙胜四场,甲胜一场(类似甲四乙一):1/8
乙胜四场,甲未胜一场(类仿甲四乙零):1/16

Answer 3

设比赛场数n，易证P(n=i)=C(i-3,i-1)(1/2)^(i-1)，其中i∈[4,7]且i为整数
期望...93/16