Question

球的体积和表面积

求求好心的 人 推导下球的体积和表面积的公式吧

Answer 1

球的体积和表面积公式

Answer 2

球的体积公式和表面积公式，中学课本上没有介绍推导过程吗？圆周率的字母，电脑输入不那么方便，我就用数值 3.14代替吧。

体积公式，首先要知道定理，两个等高的立体形状，如果所有相同高度的横截面积都相等，那么这两个立体形状的体积就相等。非常形象的例子，就是取一摞纸或者一摞书，整整齐齐叠成长方体形状之后，推出一定的斜角，体积并没有发生变化，就因为相同高度那张纸或者那本书的面积没有变化。

正如小学学习圆锥体的体积，要首先看看等底等高的圆柱体，我们计算球体的体积，就也是先看看球体的外接圆柱体，底面半径就是球的半径 R，高就是球的直径 d，这样一来
V 外接圆柱 = 3.14 R" d = 2 X 3.14 R^3

毕竟球是对称的立体形状，体积我们就先看半个球、高等于半径 R 的外接圆柱
V 圆柱 = 3.14 R^3
再看看等底等高的圆锥体，体积是 (1/3) 3.14 R^3 。接下来我们就看看，这个圆柱与圆锥的体积差，就等于这半个球的体积。

想象一下儿，圆柱体从上面，倒立地拿走中间的圆锥体。这样一来，除了最下边的底面是完整的圆形，面积是 3.14R" ，中间每一个高度的截面，就都只剩环形了。环形面积是 3.14(R" - r" )，外圆面积减去内圆面积，因为这个圆柱和圆锥都是高等于底面半径，每个高度的环形截面的面积，就都是 3.14(R" - h" )

再看看半个球体，最下边最大的底面也是完整的圆形，面积 3.14R" ，横截面越升高，圆形半径 r 越小，面积 3.14r" 越小。想想勾股定理，同样的高度，截面圆的半径等于什么？r" = R" - h" ，这样看出来没有？这半个球的体积，就正等于这个圆柱和圆锥的体积差，是 (2/3) 3.14 R^3 ，如果是整个球，体积就是两倍，V 球 = (4/3) 3.14 R^3

球体体积说起来还相对简单，表面积就关联到内接圆台、圆台侧面积，说起来不能一步到位，相关知识你了解吗？希望你能够先把你所明白的知识讲一讲，我再继续给你做指导。