Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过B的直线l：y=kx+1与x轴交于A点，且∠BAO=30°

1、求k的值及点A的坐标
2、c为OA上一个动点，P为线段BA上的一个动点，当以o，c，p三点为顶点的三角形桥恰好是等边三角形时，求出等边三角形的面积
3、在2的条件下，将等边三角形OPC沿x轴正方向平行移动，是否存在下列情形：直线l恰好将等边三角形POC分成全等的两部分？若存在，求出此时OP所在直线的函数解析式：若不存在，请说明理由

Answer 1

1. tg∠BAO = |OB|/|OA|
√3/3 = 1/|OA|
|OA| = √3
A(√3, 0)

2. OCP为等边三角形，∠OCP=60°, ∠OPC = 60°
∠OCP = ∠OAB +∠CPB, 60° = 30° + ∠CPB, ∠CPB=30°
∠OPB = 180° - ∠CPB - ∠OPC = 180° - 30° - 60° = 90°
即OP与AB垂直。
AB的斜率为-1/√3, OP的斜率为√3
AB: x/√3 + y = 1
OP: y = √3x
二者的交点为P(√3/4, 3/4）
|OC| = |OP|= √[(√3/4)² +(3/4)²] = √3/2
等边三角形的面积 = (1/2)|OC|*P的纵坐标
=(1/2)(√3/2)(3/4)
=3√3/16

3. 根据(2), 当三角形平移到C与A重合时，AB恰好平分∠OCP。因OCP为等边三角形，此时两部分全等。
开始时C(3/4, 0), |CA| = √3 - 3/4
当三角形平移到C与A重合时, O的坐标为（√3 - 3/4， 0）
OP的斜率为√3，解析式为y - 0 = √3(x - √3 + 3/4)
y = √3x -3 +3√3/4