Question

在梯形ABCD中,AD||BC,AB=CD=BC=4,AD=2,M为边BC的中点，∠EMF=∠B，（只要求3就行） 1 求证:△BEM∽△CMF

2如果BE=X,CF=Y,求y与x的函数关系式及定义域
3如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长

Answer 1

解：（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM，
证明如下：
在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，
∴∠FMC=∠BEM，
∴△CMF∽△BEM，
∴ EMFM=BECM，
又∵CM=BM，
∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM，
（2）∵△CMF∽△BEM，∴ BEBM=CMCF，
∵BM=CM=2，∴ x2=2y，
∴所求函数的解析式为 y=4x，定义域为1≤x≤4，
（3）（i）当BM=BE=2时，
由△BEM∽△CMF，得CF=MC=2，
而AB=CD=4，∴AE=BE=CF=DF=2，
∴EF为梯形的中位线，
∴EF= 12×(2+4)=3，
（ii）当BM=EM=2时，作EG⊥BC，垂足为G，
设BE=x，由题意，得BG= x4，GM= 2-x4，
∵BE2-BG2=EM2-GM2，
即 x2-x216=4-(2-x4)2，
∴x=1或x=0（不符合题意，舍去），
∴BE=1，
由△BEM∽△MEF，得 EFEM=EMBE，即 EF2=21，
∴EF=4，
综上所述，△BEM是以BM为腰的等腰三角形时，EF的长为3或4．

Answer 2

解：（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM，
证明如下：
在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，
∴∠FMC=∠BEM，
∴△CMF∽△BEM，
∴ EMFM=BECM，
又∵CM=BM，
∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM，
（2）∵△CMF∽△BEM，∴ BEBM=CMCF，
∵BM=CM=2，∴ x2=2y，
∴所求函数的解析式为 y=4x，定义域为1≤x≤4，
（3）（i）当BM=BE=2时，
由△BEM∽△CMF，得CF=MC=2，
而AB=CD=4，∴AE=BE=CF=DF=2，
∴EF为梯形的中位线，
∴EF= 12×(2+4)=3，
（ii）当BM=EM=2时，作EG⊥BC，垂足为G，
设BE=x，由题意，得BG= x4，GM= 2-x4，
∵BE2-BG2=EM2-GM2，
即 x2-x216=4-(2-x4)2，
∴x=1或x=0（不合题意，舍去），
∴BE=1，
由△BEM∽△MEF，得 EFEM=EMBE，即 EF2=21，
∴EF=4
∴△BEM是以BM为腰的等腰三角形时，EF的长为3或4．

Answer 3

3）连接AM，三角形AMB相似于三角形MBE，得BE=X=1，把X=1，代入长二问结论y=1/x中，得y=1，此时EF平行于上下底，EF=3.5