Question

一道函数题目，高等数学的基础函数题

设函数（为分段函数）f(x)=
x^2,x小于等于1
ax+b,x大于1
为了使函数f（x）在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？

写过过程，最重要是清晰点明思路！谢谢！

Answer 1

解答过程在图片中

Answer 2

f(1) = 1, lim(x->1-) f(x) = lim(x->1-) x² = 1, lim(x->1+) f(x) = lim(x->1+) (ax+b) = a+b
f(x)在x=1处连续 => a+b =1, b = 1-a
在x=1的左导数 f - '(1) = lim(x->1-) (x² -1)/(x-1) = 2,
右导数 f-'(1) = lim(x->1-) (ax+1-a -1)/(x-1) = a
=> a = 2, b = -1

Answer 3

函数值相等且导函数值相等。 即x=1,1平方=1，a*1+b=1，f导函数=2x，x+1时，导函数=2， ax+b导函数=a，则a=2，解得b=-1

Answer 4

x趋向1-时，x2-1/x-1=2 x趋向1+时,a(x-1)/x-1=a 因为函数在x=1时可导，所以f'(1-)=f'(1+)=f'(1) 所以a+b=1 推出a=2 b=-1