Question

常微分方程的一个证明题，有关比较定理和延伸定理~ODE高人求救

求证 ODE y'=f(x,y) 的最小解y=W(x)和最大解y=Z(x)之间充满了其他解~

详细叙述如下：
初值问题(E): y'=f(x,y),y(x0)=y0.
其中f(x,y)在矩形区域R:|x-x0|<=a,|y-y0|<=b内连续
记常数M=max{f(x,y)},h=min{a,b/M}。求证，在(E)的最小解y=W(x)和最大解y=Z(x)之间充满了(E)的其他解。即任取一点(x1,y1),|x1-x0|<h,W(x1)<=y1<=Z(x1)，则(E)在|x-x0|=h上至少有一个解y=u(x)满足u(x1)=y1.

来源:《常微分方程教程》第二版，丁同仁，P94/习题3-4，1

感谢感谢了~
更正：则(E)在|x-x0|<=h上至少有一个解y=u(x)满足u(x1)=y1.

Answer 1

利用解的延伸定理，设y=u(x)是初值问题(E'):y'=f(x,y),y(x1)=y1的一个解(肯定存在),考虑矩形区域R内由y=W(x)和y=Z(x）及边界和点（x0，y0）围成的区域(点(x1,y1)在此区域内），应用解的延伸定理，y=u（x)向右延伸要越过此区域的边界，不妨设与y=W（x）相交，则可构造y=u'(x),相交前取U(x),相交后到(x0,y0)取W(x)，光滑性可以保证，u"(X)就满足条件了，其他情况也可以相应证明。不明白，再pm我，我也用这本教材==,书后答案就几个字“利用解的延伸定理”。

Answer 2

如果那个点正好落在最大解或最小解上，那么就那一个小区间段上直接用最大解或最小解即可；而如果那个点落在最大解或最小解之间，那么我们试图把要构造的解写成最大解和最小解的一个插值
u(x)=(1-a(x))W(x)+a(x)Z(x),
再把 a(x) 通过ode给构造出来。

追问

a(x)一定能构造出来么？麻烦再详细点...

Answer 3

也是我这周的作业额。。同求。。