Question

闭区间上连续函数的性质de题目

1.设f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<b,证明：在[x1,x2]上必有ξ，使得f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2

2.设f(x)在[0,1]上连续，0≤f(x)≤1,证明：存在ξ∈[0,1],使f(ξ)=ξ

Answer 1

1,[f(x1)+f(x2)]/2在f(x1)和f(x2)之间，利用介质性即证。
2.不妨设f(0）不等于0，f(1)不等于1，令g(x)=f(x)-x,则g也在[0,1]上连续，g(0)>0,g(1)<0,再次利用介质性。

追问

利用介质性具体点

追答

就是f(x)在[a,b]上连续，则对任意的c，若c在f(a)和f(b)之间，就存在ξ在a和b之间，满足f(ξ)=c.