Question

当f(x)的3阶导数在点X=0处存在,就可以对f(x)在0处的极限使用洛必达法则，这时为什么？

李永乐的全书不是一直强调只有当f(x)的1阶导数在点X=0的邻域存在时才可以使用洛必达法则吗？当李的全书上在当f(x)的3阶导数在点X=0处存在,就说可以对f(x)在0处的极限使用洛必达法则，对f'(x)在0处的极限又不能使用了。难道当f(x)的3阶导数在点X=0处存在就说明f'(x)在0的邻域存在？

Answer 1

当f(x)的3阶导数在点X=0处存在，不但f'(x)在0的邻域存在，f''(x)也是存在的. 因为二阶导数存在的前提是一阶导数存在，而三阶导数存在的前提是二阶导数存在。即二阶导数是一阶导函数的导数，而三阶导数是二阶导函数的导数.

追问

你没看懂我什么意思，我是问一个点的3阶导数的存在怎么能说明原函数的1阶导数在该点的邻域存在。

追答

希望这次的回答对你有用

Answer 2

一阶导数要在x=0附近有意义是必须的

因为可能在x=0处函数没有意义

二阶导数如果f"(x)相同 可能对应4个方向如图

f(x)的三阶导数存在 自然意味着存在二阶导数连续

自然一阶导数自然存在

Answer 3

楼上其实讲得挺明白的，只是你自己不理解。
细致一点，f'''(0)=lim{x->0} [f''(x)-f''(0)]/x
根据定义，f'''(0)存在至少需要f''(x)在x=0的一个邻域内存在，
于是f''(0)也存在，同理继续得到f'(x)在x=0的一个邻域内存在。

看上去你的基本功不过关，最好先看教材，不要看什么复习全书，那东西远不如教材有用。