Question

微分方程题 求解

微分方程题 求解第十三个 应该是算错了……

Answer 1

求微分方程 y''-2y'-8y=(x+1)e^(-2x)的通解
解：齐次方程 y''-2y'-8y=0的特征方程r²-2r-8=(r-4)(r+2)=0的根 r₁=4；r₂=-2；
故齐次方程的通解为：y=C₁e^(4x)+C₂e^(-2x);
设其特解为：y*=x(ax+b)e^(-2x)=(ax²+bx)e^(-2x);
则y*'=(2ax+b)e^(-2x)-2(ax²+bx)e^(-2x)=[-2ax²+2(a-b)x+b]e^(-2x);
y*''=(-4ax+2a-2b)e^(-2x)-2[-2ax²+2(a-b)x+b]e^(-2x)
=[4ax²-4(2a-b)x+2a-4b]e^(-2x)
代入原式得：
{[4ax²-4(2a-b)x+2a-4b]-2[-2ax²+2(a-b)x+b]-8(ax²+bx)}e^(-2x)=(x+1)e^(-2x)
化简，整理得：-12ax+2a-6b=x+1
故-12a=1，a=-1/12；2a-6b=-(1/6)-6b=1,∴b=-7/36; 故y*=[(-1/12)x²-(7/36)x]e^(-2x);
∴原方程的通解为y=C₁e^(4x)+[C₂-(1/12)x²-(7/36)x]e^(-2x)

Answer 2

Answer 3

解:由(x-1)f(x+1/x-1)+f(x)=x (1)
令y=x+1/x-1, 于是x=y+1/y-1,带入到(1)式得
(2/(y-1))*f(y) + f(y+1/y-1)=y+1/y-1 (2)
将变量y换成x得
(2/(x-1))*f(x) + f(x+1/x-1)=x+1/x-1 (3)
等式两边乘以 x-1,得
2f(x)+(x-1)*f(x+1/x-1)=x+1 (4)
联立(1)，(4)解得
f(x)=1(x不能等于1)
3. f(x)=根号下(x-1)
因为 x^2-x+1>0 恒成立，
所以x^2>x-1
|x|>根号下(x-1)
或 根号下(x-1)<|x|
取k=1,即得
|f(x)|<|x|
4. f(x)=x/(x^2+x+1)
|f(x)|=|x/(x^2+x+1)|≤k|x|
等价于:|1/(x^2+x+1)|≤k
等价于:x^2+x+1≥1/k
x^2+x+1=x^2+x+1/4+3/4=(x+1/2)^2+3/4≥3/4(=1/k)
取k=4/3
则 f(x)≤4/3|x|

追问

兄dei，你写的这啥呀