Question

f(x)=x/lnx,g(x)=k(x-1)， 求证：对于任意k∈R，直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线

Answer 1

• f(x)=x/lnx 定义域x>0且x≠1

  假设y=g(x) 是f(x)=x/lnx的一条切线，切点为(x₀,k(x₀-1))

  由导数的几何意义k=(lnx₀-1)/ln²x₀

  即(lnx₀-1)/ln²x₀=x₀/lnx₀→lnx₀-1=x₀lnx₀

  令g(x₀)=lnx₀-1-x₀lnx₀

  g'(x₀)=1/x₀-lnx₀-1→驻点x₀=1 左+右-为极大值点

  极大值g(1)=-1<0→方程lnx₀-1=x₀lnx₀无解→切点不存在

  ∴对于任意k∈R，直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线

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