Question

如图,在rt三角形abc中∠c=90度 AC=6CM AB=10CM有两个动点P Q分别同时从c点出发

如图,在rt三角形abc中∠c=90度 AC=6CM AB=10CM有两个动点P Q分别同时从c点出发 Q沿着CB BA以3cm/s向A运动 P沿CA AB以4cm/s向B移动，其中一点到达终点时两点同时停止运动。
设运动时间为t，问是否t存在，可以使三角形PCQ的面积是三角形ABC面积的一半？如果不存在，请说明理由。

Answer 1

一、考虑P、Q其中一点到达终点时需要的时间。
　　由题设，点P的移动速度较快，
　　∴当P到达终点时，需要的时间是：（AC＋AB）/4＝（6＋10）/4＝4（s）。
　　∴若存在满足条件的时间t，则有：t≦4s。

二、当P移动到C、A之间的某处（含A处）时，Q一定是在C、B之间。此时：CP＝4t、CQ＝3t。
　　若此时存在满足条件的时间t，则有：（1/2）CP×CQ＝（1/2）CA×CB/2，
　　∴4t×3t＝6×6/2，∴t^2＝3/2，∴t＝√6/2（s）。

三、当Q移动到B点时，需要的时间是：CB/3＝6/3＝2（s）。
　　此时的P在A、B之间，且AP＝4（2－3/2）＝2（cm）。
　　∵此时P不在AB的中间（若在AB的中间，则AP＝5cm），∴此时不满足条件。

四、当P、Q都在A、B之间，且P、Q还没有相遇，则此时：
　　AP＝4（t－3/2）、BQ＝3（t－2）。
　　若此时存在满足条件的时间t，则有：
　　（1/2）AC×APsin∠A＋（1/2）BC×BQsin∠B＝（1/2）AC×BC/2，
　　∴6×4（t－3/2）/√2＋6×3（t－2）/√2＝6×6/2，　∴4t－6＋3t－6＝3√2，
∴t＝（12＋3√2）/7（s）。

五、当P、Q相遇后，此时：
　　BP＝AB－AP＝10－4（t－3/2）＝4－4t、　AQ＝AB－BQ＝10－3（t－2）＝4－3t。
　　若此时存在满足条件的时间t，则有：
　　（1/2）AC×AQsin∠A＋（1/2）BC×BPsin∠B＝（1/2）AC×BC/2，
　　∴6×（4－3t）/√2＋6×（4－4t）/√2＝6×6/2，　∴4－3t＋4－4t＝3√2，
　　∴t＝（8－3√2）/7（s）。

综上所述，得：当P、Q的运动时间为（√6/2）秒、［（12＋3√2）/7］秒、［（8－3√2）/7］秒时，都能使△PCQ的面积为△ABC面积的一半。