Question

设f(x)的定义域为（0,正无穷），且在（0，正无穷）上为增函数，f(x/y)=f(x)-f(y).

设f(x)的定义域为（0,正无穷），且在（0，正无穷）上为增函数，f(x/y)=f(x)-f(y).
(1)求证：f(x)=0,f(xy)=f(x)+f(y).
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)-f(1/x-3)≤2
（谁能告诉我怎么解？？？我非常感谢！）

Answer 1

是抽象函数问题.这里的x呀，y呀，相当于x1呀，x2呀。
模特儿之一是对数函数f(x)=log2（x）,从它，可以一叶知秋，猜想许多性质.为解题探路。

(1)求证：f(1)=0,赋值法。取x=y=1，即得
f(xy)=f(x)+f(y).用繁分式，把乘法转化为除法。再由f(x/y)=f(x)-f(y).可证

(2)若f(2)=1,解不等式f(x)-f(1/x-3)≤2，
先求公共定义域 x>0 and 1/(x-3)>0,
x>3
由公式f(xy)=f(x)+f(y)，左边= f(x)-f(1/(x-3))=f(x/(x-3))
难点：右边常数2要转换成函数值。2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)
这样，不等式两边转化为了函数值的比较
再利用单调性，增函数性质，函数值大，自变量大，去掉函数符号，关键。
x/(x-3)≤4，解出x范围与x>3取交集，得不等式解集。