Question

一个线性代数问题

若η1 η2.... η t是AX=0的一个基础解系
则自由变量t=n-r(A)
r是秩
这个定理是怎么证明的啊？麻烦好心人给个过程吧
多谢

Answer 1

把A看成一个线性变换对应的矩阵。那么
AX=0表示X属于A的核空间。所以t等于A核空间维数。
把A作用在单位矩阵上，得到的向量就是A的列向量。
它们张成的空间构成了A的像空间（任何一个向量都看成单位矩阵的列向量线性组合，作用A以后就是A的列向量对应的线性组合）。所以A的像空间维数就是A的列向量的秩。
对于线性变换，核空间维数+像空间维数=n（这个定理书上应该有吧？汗~）；
就得到你要的结论。

Answer 2

这个写起来太麻烦了，而且很多符号很难写出来，你随便找本线代课本查查，应该就有。