Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD．
（Ⅲ）当BD/AB=1/3是，求二面角B—CD—B1的余弦值
主要是第三问。。。。。。

Answer 1

解：(1)∵AB=5,AC=4,BC=3∴AB²=AC²+BC²，∴△BCA为直角三角形 ∴AC⊥BC,
又∵C1C⊥AC ∴AC⊥平面BCC1B1,∴AC⊥CB1
(2)连接BC1交BC1于点O,连接OD则OB=OC1,又点D是AB的中点，∴OD//AC1
∴AC1//平面B1CD
(3)过点B作BF⊥CD，连接B1F。∵B1B⊥平面ABC,∴BB1⊥CD,∴此首纤CD⊥平面B1BF,∴CD⊥B1F,
∴∠BFB1即为所求角
过点D作DG⊥BC,则DG//AC.∴DG/AC=BG/BC=1/3.∴DG=4/3,BG=1,CG=2,∴CD=√CG²+DG²=2√13/3
S△BDC=1/3S△BCA,即1/2*CD*BF=1/2*BC*AC*1/3,∴BF=6√13/13
∴tan∠B1FB=B1B/芹誉BF=2√13/3,∴cos∠森仿B1FB=√221/17