Question

如图,在△ABC和△ACE中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC，且DE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边上的中

如图,在△ABC和△ACE中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC，且DE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边上的中点，连接DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF=AC
(2)求证：CE=½BF
（3）判断CE与BG的大小关系，并说明你的理由。
过程一点要详细，最好标注理由。好的加分啊！！！

Answer 1

证明：
∵∠ABC=45°，CD⊥AB
∴BD=CD
∵∠ACD+∠A=∠DBF+∠A=90°
∴∠ACD=∠DBF
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF≌△CDA
∴BF=AC

(2)
△BDF≌△CDA
∴AC=BF
∵BD⊥AC，BD平分∠ABC
易得△ABC是等腰三角形
∴CE=1/2AC=1/2BF
（3）
连接CG
∵H是BC中点
∴DH是BC的垂直平分线
∴BG=CG
在△CEG中，CG>CE（斜边大于直角边）
∴BG>CE

Answer 2

1 ）△BDF和△CEF中，∠BDF=∠CEF=90，所以,∠DBF=∠ECF
,∠ABC=45 CD⊥AB，所以△DBC为等腰直角三角形 所以DB=DC

因为 DB=DC
∠DBF=∠ECF
,∠BDF=∠CDA=90
所以 △BDF全等于△CDA
所以 BF=AC

2）因为BE平分∠ABC 且 BE⊥AC
所以AE=EC 所以CE=½AC
因为BF=AC 所以CE=½BF

3）连接CG，GH是BC的中垂线，所以△GBC是等腰三角形，BG=CG
△ECG中，∠CEG=90，所以CG大于CE
所以CE小于BG

Answer 3

证明：
∵∠ABC=45°，CD⊥AB
∴BD=CD
∵∠ACD+∠A=∠DBF+∠A=90°
∴∠ACD=∠DBF
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF≌△CDA
∴BF=AC

(2)
△BDF≌△CDA
∴AC=BF
∵BD⊥AC，BD平分∠ABC
易得△ABC是等腰三角形
∴CE=1/2AC=1/2BF
（3）
连接CG
∵H是BC中点
∴DH是BC的垂直平分线
∴BG=CG
在△CEG中，CG>CE（斜边大于直角边）
∴BG>CE

1 ）△BDF和△CEF中，∠BDF=∠CEF=90，所以,∠DBF=∠ECF
,∠ABC=45 CD⊥AB，所以△DBC为等腰直角三角形 所以DB=DC

因为 DB=DC
∠DBF=∠ECF
,∠BDF=∠CDA=90
所以 △BDF全等于△CDA
所以 BF=AC

2）因为BE平分∠ABC 且 BE⊥AC
所以AE=EC 所以CE=½AC
因为BF=AC 所以CE=½BF

3）连接CG，GH是BC的中垂线，所以△GBC是等腰三角形，BG=CG
△ECG中，∠CEG=90，所以CG大于CE
所以CE小于BG

Answer 4

证明：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC．
∴BF=AC；

（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE= 1/2AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE= 1/2AC= 1/2BF；

（3）CE＜BG．
证明：连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∴CE＜BG．
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