Question

关于数列的极限求和。

n从2累加到正无穷大， ln (1-1/n^2)的累加值。

Answer 1

ln(1-1/n^2)=ln(n-1)(n+1)/n^2
=[ln(n+1)-lnn]+[ln(n-1)-lnn]
n项和=(ln3-ln2)+(ln1-ln2)+(ln4-ln3)+(ln2-ln3)+.....+[ln(n+1)-lnn]+[ln(n-1)-lnn]
=(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+.....+[ln(n+1)-lnn]+(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+......+[ln(n-1)-lnn]
=ln(n+1)-ln2+ln1-lnn
=ln[(n+1)/n]-ln2
=ln(1+1/n)-ln2
当n趋近于正无穷大时
上式=ln(1+0)-ln2
=-ln2

Answer 2

n从2累加到正无穷大， ln (1-1/n^2)的累加值
=2→＋∞▕ ∑ln[（n+1）（n-1）/n^2]
=2→＋∞▕ ∑[ln（n+1）+ln（n-1）-2lnn]
=2→＋∞▕ ∑[ln3+ln1-2ln2+ln4+ln2-2ln3+ln5+ln3-2ln4+……+ln（n+1）+ln（n-1）-2lnn]
=n→＋∞lim ln1-ln2+ln（n+1)-lnn
=-ln2