Question

求一道高数题解。

已知x不等于0,证明0<(1/x)(arctane^x-四分之派)<1/2
f(x)为什么是减函数？

Answer 1

证明：令f(x)=[arctan(e^x)-π/4]/x，则f(-x)={arctan[e^(-x)]-π/4}/(-x)=[π/2-arctan(e^x)-π/4]/(-x)=[arctan(e^x)-π/4]/x=f(x)，故在定义域上，f(x)是偶函数。
只需考察x>0的情况即可。
一方面，当x>0时，e^x>1，arctan(e^x)>π/4，显然f(x)>0成立。
另一方面，当x>0时，f(x)单调递减，所以当x→0+时，函数极限满足0/0型，由L'Hospital法则有limf(x)=lim(e^x)/[1+e^(2x)]=1/2，所以f(x)<1/2
综合上述，0<f(x)<1/2 得证

补充说明f(x)在x>0上单调递减。
f(x)=[arctan(e^x)-π/4]/x，令F(x)=arctan(e^x)，则f(x)=[F(x)-F(0)]/(x-0)。
分析知在x>0上，一阶导数F’(x)=(e^x)/[1+e^(2x)]>0，二阶导数F''(x)=(e^x)*[1-e^(2x)]/[1+e^(2x)]^2<0，说明F(x)在x>0是一条上单调递增的上凸曲线，在x→+∞时，limF(x)=π/2
所以，f(x)表示了曲线F(x)在x>0上任意一点与起始点(0,π/4)连线的斜率。既然曲线是“上凸曲线”，必然斜率f(x)是单调递减的了。