Question

根号(x^2+2)+ 1/根号(x^2+2)

a+b应该>=2根号ab
但为什么根号(x^2+2)+ 1/根号(x^2+2)最小值就不能这么求呢？应该怎么求？

Answer 1

其实这也是对勾函数（或耐克函数的运用）
形如y=ax+b/x（a,b均为正数）的函数成为对勾函数；
该函数单调区间的分界点由勾底决定：勾底的求法是令ax=b/x，可得x=±√(b/a)，
该函数在(-∞,-√(b/a) )，(√(b/a)，+∞)上都是递增的；
在(-√(b/a)，0)，(0，√(b/a) )上是递减的；
当x>0时ax+b/x≧2√ab，但最小值的取得与否要看x能否取得勾底x=√(b/a)；

该题中：勾底显然是：根号(x^2+2)=1，即x^2=-1，取不到；
根号(x^2+2)≧√2，在勾底右侧，递增，所以当x=0时取最小值3√2/2；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

因为√（x²+2）≥√2
而上述利用算术平均值大于等于几何平均值的式子中，等号成立的充要条件是a=b
即√（x²+2）= 1/√（x²+2 ）时 ，
x²+2=1 x²=-1，是不会成立的,问题就出在不等式相等时的值是否能取到，本题是取不到，所以不能使用不等式。
求法需要告诉你，y=x+1/x 这个函数（俗称“对勾函数”）在(0,1) 上单调递减，在（1，+无穷）单调递增，证明方法必须使用求导法，做差法失效。
∵ √（x²+2）≥√2
所以只能在√（x²+2）=√2出取得最小值，最小值为3√2/2
此时x=0

Answer 3

使用基本不等式，
必须a=b
本题中，√(x^2+2)= 1/√(x^2+2)时，x无解
可以考虑函数的方法
设，√(x^2+2)= t t≥√2
y=t+1/t，是一个对勾函数
在（1，+ ∞）上是增函数
所以 t=√2时，y有最小值为√2+1/√2=3√2/2

Answer 4

因为x+1/x这个式子的最小值是当x=1/x=1的时候取到的，而根号(x^2+2)+ 1/根号(x^2+2)式子中x^2+2开根号的最小值是根号2，所以你只能用函数的单调性来求，在x>1的情况下，f(x)=x+1/x是单调增函数，所以当根号(x^2+2)取最小值的时候它去最小值，明显当x=0时取到最小值为3根号2/2.或者3/根号2.
完毕。

Answer 5

因为按照 a+b>=2根号ab
等号成立条件为a=b
这里即
根号(x^2+2)=1/根号(x^2+2)
x^2+2=1
x^2=-1不可能，说明最小值2是取不到的
所以得用其他方法