Question

如图 高数 求13题解析

Answer 1

解：见下图：从几何的角度来分析，axb·c所代表的是以a，b，c分别为平行四边形所组成的六面体的体积。axb代表a和b所组成平面的面积，axb·c代表了c在axb方向余弦，由于axb垂直于a与b组成的平面，因此，就构成了一个六面体的体积。

而（a+b)x(b+c)·(c+a)就是原a,b,c为六面体的三个主要平面的对角线为向量组成的新的立方体的体积。因此，于原立方体必然存在一定的关系，运用向量计算可以求出这种关系。

（a+b)x(b+c)·(c+a)=[ax(b+c)+bx(b+c)]·(c+a)=(axb+axc+bxb+bxc)·(c+a) (注意：b//b,bxb=0）=（axb)·c+(axc)·c+(bxc)·c+(axb)·a+(axc)·a+(bxc)·a(注意：含有向量c的平面⊥c，含有a的平面⊥a，点积为0）=（axb)·c+(bxc)·a=2(axb)·c=2。

从这个结论可以看出，倍立方问题还可以用空间向量解得。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

追问

能简单一点吗？这个过程有看不懂

追答

这是向量积中的混合积问题，不知你教科书上有没有 ？
上述求法是用混合积的定义，即化为三阶行列式求的。
也可用下面更抽象的方法求之，我认为简单，但更不好懂：
[(a+b)×(b+c)] ·(c+a) = [a×(b+c)] ·(c+a) + [b×(b+c)] ·(c+a)
= (a×b) ·(c+a) + (a×c) ·(c+a) + (b×b) ·(c+a) + (b×c) ·(c+a)
= (a×b) ·(c+a) + (a×c) ·(c+a) + 0 + (b×c) ·(c+a)
= (a×b) ·c + (a×b) ·a + (a×c) ·c + (a×c) ·a + (b×c) ·c + (b×c) ·a
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2

追问

为什么a×b.c＝b×c.a?

追答

混合积的公式 ： (a×b).c = (x，y，z 表示下标）
|ax ay az|
|bx by bz|
|cx cy cz|
(b×c).a =
|bx by bz|
|cx cy cz|
|ax ay az|
=
|ax ay az|
|bx by bz|
|cx cy cz|
= (a×b).c = 1

Answer 4

这是参考过程

追问

最后第二个步骤为什么a×b.c＝b×c.a?

追答

都表示体积