Question

y=(x^2-x)/(x^2-x+1)的值域

Answer 1

解法一：
y=(x^2-x)/(x^2-x+1)
=(x^2-x+1-1)/(x^2-x+1)
=1-1/(x^2-x+1)
=1-1/[(x-1/2)²+3/4]
1/[(x-1/2)²+3/4]>0
y=1-1/[(x-1/2)²+3/4]<1
当x=1/2时，y取最小值=-1/3
所以，y=(x^2-x)/(x^2-x+1)的值域：[-1/3，1)

解法二：y(x²-x+1)=x²-x
（y-1)x²+(y-1)x+y=0
∵(x^2-x)≠(x^2-x+1)∴y≠1
关于x的一元二次方程（y-1)x²+(y-1)x+y=0有实数解，所以，△≥0
即:(y-1)²-4y(y-1)≥0
-1/3<=y<=1
综合可得:1/3<=y<1
y=(x^2-x)/(x^2-x+1)的值域：[-1/3，1)

Answer 2

解：y=(x^2-x)/(x^2-x+1)=(x^2-x+1-1)/(x^2-x+1)=1-1/(x^2-x+1)
因为x^2-x+1的Δ=1-4<0，x^2-x+1恒大于0，
且x^2-x+1=x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4≥3/4，
所以1-1/(x^2-x+1)≥1-4/3=-1/3，
综上所述，y=(x^2-x)/(x^2-x+1)的值域为：[-1/3,+∞).

Answer 3

等式整理为关于x的方程：
x^2-x=yx^2-yx+y
即：(y-1)x^2-(y-1)x+y=0
当y＝1时，得1＝0，舍去这种情况。
当y不等1时，则为二次方程。由于x为实数，所以判别式不小0
即：（y-1）^2－4y(y-1)≥0
(y-1)(3y+1)≤0
所以－1/3≤y<1，此即y的取值范围。