二阶连续偏导数推出二阶混合偏导数相等? 80

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2021-08-14 · TA获得超过77万个赞
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实际上如果对x,y的偏导在某点P的邻域存在,在P处可微,也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质。

F(x,y)=x^3y^3sin(1/(xy)),xy≠0。

F(x,y)=0,xy=0。

1、xy=0,显然有

Fx'(x,y)=Fy'(x,y)=0。

2、xy≠0。

Fx'(x,y)=3x^2y^3sin(1/(xy))-xy^2cos(1/(xy))。

Fy'(x,y)=3x^3y^2sin(1/(xy))-x^2ycos(1/(xy))。

x方向的偏导

设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。





_带着浅浅笑_
2019-06-13 · TA获得超过1282个赞
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实际上如果对x, y的偏导在某点P的邻域存在,在P处可微,也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质,楼主可以尝试写一下证明。

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heny566
2019-06-13 · TA获得超过180个赞
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累次极限可交换顺序的定理,中间步骤可能用到微分中值定理。
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y喜1110
2019-06-12
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看你偏的是那个
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游戏龙卷风来了6220
2019-06-12 · TA获得超过958个赞
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F(x,y)=x^3y^3sin(1/(xy)),xy≠0.
F(x,y)=0,xy=0.
1.xy=0,显然有
Fx'(x,y)=Fy'(x,y)=0.
2.xy≠0,
Fx'(x,y)=3x^2y^3sin(1/(xy))-xy^2cos(1/(xy)),
Fy'(x,y)=3x^3y^2sin(1/(xy))-x^2ycos(1/(xy)).
3.
xy=0,显然有
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=0.
4.
xy≠0,
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=
=9x^2y^2sin(1/(xy))-5xycos(1/(xy))-sin(1/(xy)).
==>
在R^2上,F(x,y)的二阶混合偏导数相等,
但是二阶混合偏导数不连续.
关键在于,原先是xsin(1/x)的形式,在0点附近x占主导,所以其连续且偏导数存在,可是求完偏导数之后,有sin(1/x)的单独的项,这是一个不连续的项。
追问
这个只是一个例子啊?没有更具体的解释吗
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