Question

求解一道大一高数

第三题为什么选A
理由

Answer 1

过程，如图所示

追答

错了，看成B来写了

应该是

极坐标下，θ积分区间是从下限逆时针旋转到上限

追问

请问第一步r等于acos 是什么意思

追答

前面是对θ积分，后面是对r积分啊

r的积分区间是从0到acosθ

0就是圆心处

r=cosθ就是圆的边界处

积分域D是从圆心到圆的边界，角度从-π/2到π/2的区域

Answer 2

r = 2sinθ
r² = 2rsinθ
x² + y² = 2y
x² + y² - 2y + 1 = 1
x² + (y - 1)² = 1
由于θ∈[0，π/2]，
区域D为x² + (y - 1)² = 1和x ≥ 0，y ≥ 0的部分

或者更简单地，x = √[1 - (y - 1)²]、
有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的。 I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x在区间[0，1]所围成的面积，转换为极坐标后，θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围： 因为y=x的极坐标方程为：rsinθ=rcosθ r=sinθ/cosθ 因为直线y=kx和曲线y=x的交点为(0,0),(k,k),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cosθ],则积分I化为极坐标的积分为 I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)+(rsinθ)rdr =∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cosθ]) =∫(sinθ/cosθ)dθ(θ范围[0,π/4]) =∫(-1/cosθ)dcosθ