Question

一阶非齐次线性微分方程能用特征值法求解吗？

我知道一阶非齐次线性方程能用常数变异法和公式法解，我想问问一阶的非齐线性方程能否像二阶非齐次方程一样用特征值法得到答案？

Answer 1

二阶常系数非齐次微分方程可用特征值法得到通解，
一阶非齐次线性微分方程如果 y', y 项的系数是常数的话，也可用 特征值法得到通解。
因限制为一阶常系数非齐次微分方程，故意义不大。
例如 : y' + y = 2e^x
参数变异法求通解： y = e^(-∫dx)[∫2e^xe^(∫dx)dx + C]
= e^(-x)[∫2e^(2x)dx + C] = e^(-x)[e^(2x) + C] = e^x + Ce(-x).
特征值法求通解： 特征方程 r+1 = 0, r = -1.
设特解 y = ae^x, 代入微分方程得 a = 1， 特解 y = e^x
原微分方程得通解是 y = Ce^(-x) + e^x