Question

求∫dx/(x³ + 1)不定积分？

Answer 1

∫dx/(x³ + 1)不定积分的解法如下：

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

Answer 2

解题过程如下图：

扩展资料

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 3

本题可以将分母中x³+1进行因式分解为（x+1）（x²-x+1），然后再进行求解。

Answer 4

首先，进行因式分解：

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

然后，将分母中的x³ + 1写成两个因式的乘积，就可以利用部分分式分解的方法，将不定积分转化成较简单的形式：

1/(x³ + 1) = A/(x + 1) + B(x - 1)/(x² - x + 1)

其中，A和B是待定常数。将分式通分，然后比较分子系数，得到以下方程组：

A + B = 0
-A + B = 0
A - B = 1

解方程可得A = 1/3，B = -1/3。因此，原不定积分的结果为：

∫dx/(x³ + 1) = ∫dx/(x + 1) - (x - 1)/(x² - x + 1)

对于第一项，可以直接利用换元法将其积分：

∫dx/(x + 1) = ln|x + 1| + C1

对于第二项，可以通过完成平方、配方等技巧，将其化成一个简单的函数：

(x - 1)/(x² - x + 1) = (x - 1/2)² - 3/4)/(x² - x + 1) + 3/4 ∫dx/(x² - x + 1)

然后，利用三角函数代换（x = (2/√3)tanθ - 1/√3），将不定积分转化为∫dθ/cos²θ，再利用积分恒等式，可以得到以下结果：

∫dx/(x³ + 1) = ln|x + 1| - (2/3)ln|x² - x + 1| - (2/√3)arctan((2x - 1)/√3) + C2

综上所述，不定积分的结果为：

∫dx/(x³ + 1) = ln|x + 1| - (2/3)ln|x² - x + 1| - (2/√3)arctan((2x - 1)/√3) + C

其中C1、C2和C都是任意常数。

Answer 5

let
1/(x^3+1) ≡ A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)
=>
1≡ A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)
x=-1, => A= 1/3
coef. of x^2
A+B=0
B=-1/3
coef. of constant
A+C =1
C= 2/3
1/(x^3+1)
≡ A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)
=(1/2) [ 1/(x+1) + (-x+2)/(x^2-x+1) ]
∫ dx/(x^3+1)
=∫(1/2) [ 1/(x+1) + (-x+2)/(x^2-x+1) ] dx
=(1/2)ln|x+1| - (1/2)∫ (x-2)/(x^2-x+1) dx
=(1/2)ln|x+1| - (1/4)∫ (2x-1)/(x^2-x+1) dx + (3/4)∫ dx/(x^2-x+1)
=(1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2-x+1| + (3/4)∫ dx/(x^2-x+1)
=(1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2-x+1| + (√3/2)artan[ (2x-1)/√3] +C
//
consider
x^2-x+1 = (x-1/2)^2 + 3/4
let
x-1/2 =(√3/2)tanu
dx =(√3/2)(secu)^2 du
∫ dx/(x^2-x+1)
=∫ (√3/2)(secu)^2 du/[(3/4)(secu)^2 ]
=(2√3/3)u +C
=(2√3/3)artan[ (2x-1)/√3] +C