Question

一道高中导数题目 求解答

Answer 1

(1)
f(x)=e^x-1/2*x²+ax
所以
f'(x)=e^x-x+a
f''(x)=e^x-1
所以
当x≥0时 f''(x)≥0
当x<0时 f''(x)<0
所以
f'(x)在x=0处取得最小值f'(0)=1+a>0
所以
对于任意的x，f'(x)>0
所以
f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
(2)
因为f(x)=e^x-1/2*x²+ax
所以f(1)=e-1/2+a<e-1/2+1-e=1/2
因为f(x)在[1,+∞)上的最小值小于等于f(1)<1/2
(3)
f(x)=e^x-b/2*x²+ax
所以
f'(x)=e^x-bx+a
因为
f'(a/b)>0-a+a=0
所以若f(x)在R上是单调函数，那么f(x)必然是单调递增函数
又因为f'(0)=1+a
所以a>-1
(3-1)若b<0
当x=(a+1)/b<0，f'((a+1)/b)<1-(a+1)+a=0
所以f(x)非单调递增函数
(3-2)若b=0
f'(x)=e^x+a
若a≥0，则f'(x)>0+a>0，此时f(x)在R上单调递增
若-1<a<0，则当x<ln(-a)时，f'(x)<0，当x>ln(-a)时，f'(x)>0，此时f(x)非单调函数
所以这种情况下 ab的最小值为0
(3-3)若b>0
因为f''(x)=e^x-b
所以
当x≥lnb时 f''(x)≥0
当x<lnb时 f''(x)<0
所以
f'(x)在x=lnb时取得最小值
因为f'(x)要是单增函数
所以
f'(lnb)≥0
也就是
b-blnb+a≥0
此时
ab≥-b²+b²lnb
令g(b)=-b²+b²lnb
则g'(b)=-b+2blnb
当0<b≤√e时,g'(b)=b(1-2lnb≤0
当b>√e时,g'(b)=b(1-2lnb)>0
所以当b=√e时g(b)取得最小值-e/2
此时a=-b+blnb=-1/2*√e
综上所述
当f(x)在R上是单调函数时，ab的最小值为-e/2，此时a=-1/2*√e，b=√e