Question

高数帝！！用定义证明以下几个题目的极限！！

记住要定义。。。重点是放缩的过程！！

Answer 1

好简单呢！极限的证明无非用到更多的是 迫敛性，或者找等价的一个已知极限值的数列去逼近。
一般最多的就是迫敛性（也称为 夹逼准则 ）

自己尝试着去解下，就知道了。这里没法发图片，我也懒得写了。你自己看着办吧

Answer 2

证明：（1）对于任意的ε>0，解不等式
│(2n²+1)/(3n²+1)-2/3│=1/(3(3n²+1))<1/(9n²)<1/n²<ε
得n>1/√ε，取N≥[1/√ε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数N≥[1/√ε]。当n>N时，有│(2n²+1)/(3n²+1)-2/3│<ε
即lim(n->∞)[(2n²+1)/(3n²+1)]=2/3；
（2）对于任意的ε>0，解不等式
│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│<9n³/(5n^4)=9/(5n)<2/n<ε
得n>2/ε，取N≥[2/ε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数N≥[2/ε]。当n>N时，有│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│<ε
即lim(n->∞)[(9n³-1)/(5n^4+5n-1)]=0；
（3）对于任意的ε>0，解不等式
│(6x²-7x+2)/(2x-1)+1/2│=3│x-1/2│<ε
得│x-1/2│<ε/3，取δ≤ε/3。
于是，对于任意的ε>0，总存在δ≤ε/3。当│x-1/2│<δ时，有│(6x²-7x+2)/(2x-1)+1/2│<ε
即lim(x->1/2)[(6x²-7x+2)/(2x-1)]=-1/2；
（4）对于任意的ε>0，解不等式
│(8x³+27)/(4x²-6x+9)+1│=│(2x+3)+1│=2│x+2│<ε
得│x+2│<ε/2，取δ≤ε/2。
于是，对于任意的ε>0，总存在δ≤ε/2。当│x+2│<δ时，有│(8x³+27)/(4x²-6x+9)+1│<ε
即lim(x->-2)[(8x³+27)/(4x²-6x+9)]=-1。