初二几何证明题
(1)写出BE与AF之间的关系,并证明你的结论
(2)如图12,若AB=2,点E为AD的中点,连接GD,试证明GD是∠EGF的平分线,并求出GD的长:
(3)如图13,在(2)的条件下,作FQDG交AB于点Q,请直接写出FQ的长为＿＿＿＿＿ 展开
连接CM
∵M是△ABC斜边AB中点
∴CM=1/2AB=BM=CD（直角三角形斜边上的中线为斜边一半）
则∠DCM=∠D（等边对等角）
∴∠MCB=∠DCM+∠D=2∠D
而由CM=BM（已证）得：∠B=MCB=2∠D（等边对等角）
OK
∴∠TPB=90°,TP∥CM
∴∠DCE=∠PTB
∵DE∥AB
∴DE⊥CM,∠CDE=90°
∴∠CDE=∠TPB
∵AD是角平分线
∴∠CAT=∠BAT,CT=TP(角平分线上的点到角两边距离相等)
∵∠CAT+∠CTD=∠BAT+∠ADM=90°
∴∠CTD=∠ADM
∵∠ADM=∠CDT
∴∠CTD=∠CDT
∴CT=CD
∴CD=TP
∴△CDE≌△TPB(ASA)
∴CE=TB,即CT+TE=TE+BE
∴CT=BE
（1）、BE与AF之间的关系为BE=AF且BE⊥AF。
因为在正方形ABCD中有∠BAD=∠ADC=90°①，AB=AD=CD②，且DE=CF，
所以AE=DF③，则由①②③可知△BAE≌△ADF（SAS），有BE=AF，∠BEA=∠AFD，
又因为∠DAF+∠AFD=∠DAF+∠BEA=90°，所以在△AEG中可知∠AGE=90°，即BE⊥AF，
综上所述可知BE与AF之间的关系为BE=AF且BE⊥AF。
（2）、如图所示，过点D作DH⊥AF，垂足H在AF上。
因为在正方形ABCD中有AD=CD，点E为AD的中点，依题意可知点F为CD的中点，
则AE=DE=DF，又因为题（1）已证∠BEA=∠AFD，∠AGE=90°，且DH⊥AF，
所以△AEG≌△DFH（AAS），EG为△ADH的中位线，有AG=GH=DH，
所以△DGH为等腰直角三角形，可知DG=(√2)DH，
因为在直角△ADF中AD=2，CF=DF=1，所以由勾股定理可算得AF=√5，
又因为△ADF面积=AD×DF÷2=AF×DH÷2，即2×1÷2=(√5)×DH÷2，
算得DH=(2√5)/5，所以DG=(√2)DH=(2√10)/5。
（3）、如图所示，过点D作DH⊥AF，垂足H在AF上，延长DG至AB上于点I。
因为在题（2）已证△AEG≌△DFH，EG为△ADH的中位线，
有AG=GH=DH=2EG=2FH，所以AG/FG=2/3，
因为在正方形ABCD中有AB∥CD，易知△AGI∽△DGF，有AG/FG=IG/DG=2/3，
则由题（2）结论DG=(2√10)/5可算得IG=(4√10)/15，所以DI=DG+IG=(2√10)/3，
又因为在正方形ABCD中有AB∥CD，且FQ∥DG，
所以四边形DFQI为平行四边形，即有FQ=DI=(2√10)/3。
得∠CAT=∠ACM
加上AD平分∠BAC
得∠CAT=∠ACM=∠DAM=30°
∠CDT=∠ADM=60
∠CTD=60
得正三角形CDT
再证△ACT全等△EDC
得∠CED=∠EDT得DT=TE
DE平行AB得EB=AD
AD=DC=CT
得CT=BE
