Question

设a>0,x1>0,xn+1=1/4(3xn+a/xn3),n=1,2…证极限存在

Answer 1

a>0,x1>0,
所以x<n+1>=(1/4)(3xn+a/xn^3)>0,
x<n+1>-xn=(1/4)(-xn+a/xn^3),
设f(x)=(1/4)(-x+a/x^3),x>0,
f'(x)=(1/4)(-1-3a/x^4)<0,
所以f(x)是减函数，f(x)的零点是x0=a^(1/4),
xn>x0时f(xn)<0,x<n+1><xn,
数列{xn}递减有下界0，于是有极限；
xn<x0时f(xn)>0,x<n+1>>xn,
数列{xn}递增有上界x0,于是有极限。