Question

高数 关于求极限问题

lim((1+x+x^2)^(1/3)-1)/(x^3+sin2x) (x趋于0)

Answer 1

当x->0时, ((1+x+x^2)^(1/3)-1 ~ (1/3)(x+x^2), (x^3+sin2x) ~ 2x
lim (x->0) ((1+x+x^2)^(1/3)-1)/(x^3+sin2x)
= lim(x->0) (1/3)(x+x^2) / (2x)
= 1/6

追问

对于 (x^3+sin2x) ~ 2x不是特别理解，我只知道sin2x ~ 2x，有这个等价代换，但加了x^3后，还可以等价代换成2x吗？这个点有疑问，希望做解答。你是怎么考虑的？

追答

lim(x->0) (x^3+sin2x) / (2x) = 1, (x^3+sin2x) 与 2x 是等价无穷小

追问

如果知道lim(x->0) (x^3+sin2x) / (2x) = 1，我就不会问前面的问题了，我前面的问题可以等价为问为什么lim(x->0) (x^3+sin2x) / (2x) = 1，我不会求它的等价无穷小

追答

lim(x->0) (x^3+sin2x) / (2x) = lim(x->0) [ (1/2) x² + (sin2x) / (2x) ] = 0 + 1 = 1