Question

如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AC上一动点，PE⊥AB于E，EF⊥BC于F。（1）求证：△APE，△EBF都

如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AC上一动点，PE⊥AB于E，EF⊥BC于F。（1）求证：△APE，△EBF都与△ABC相似；
（2）当P在AC上移动时，能否得到△PCF与△APE相似？若能得到，则当PA为何值时，△PCF与△APE相似？若不能得到，请说明理由。

Answer 1

（1）
证明;
∵PE⊥AB,EF⊥BC
∴∠PEA=∠EFB=∠C=90º
在⊿APE和⊿ABC中，
∠PAE=∠BAC，∠PEA=∠BCA
∴⊿APE∽⊿ABC
在⊿EBF和⊿ABC中
∠B=∠B，∠EFB=∠ACB
∴⊿EBF∽⊿ABC
∴⊿APE，⊿EBF都与⊿ABC相似；
（2）【∵∠PEA=90º，∠PCF=90º，所以只能是⊿APE与⊿PFC或⊿FPC相似,否则不能相似】
∵AC=3，BC=4，∴AB=5
设PA=a，则PC=3-a,
∵EF//AC【∵AF，AC都垂直于BC】
∴AE/AB=CF/BC
AE=3/5a, AB=5, BC=4
∴CF=12/25a
若⊿PFC∽⊿APE
则PC/CF=AE/PE =3/4
(3-a)/(12/25a)=3/4
a=75/34
若⊿FPC∽⊿APE
则FC/PC=AE/PE=3/4
(12/25a)/(3-a)=3/4
a=75/41