Question

初中数学，求具体证明以下结论

点A是定点，Q是P的从动点

Answer 1

设A为坐标原点,P在直线BC:y=y0上运动,并且AQ=λAP
设P(x0,y0),则Q点可看成P经过一个绕点A的旋转变换得到B,再经过一个比例系数为λ的伸缩变化得到Q(x,y)

根据坐标变换公式,
x=λx0cosα-λy0sinα①
y=λx0sinα+λy0cosα②
①*sinα-②*cosα,得
ycosα=xsinα-λy0③
α,y0和λ都是定值,所以方程③表示一条直线,即Q的轨迹是直线
当α≠π/2时,Q的轨迹是直线y=tanα*x-λy0/cosα
由方程可知MN的倾斜角为α,即MN与x轴夹角为α
又BC∥x轴,所以MN与BC夹角为α
当α=π/2时,③化为x=λy0,即MN⊥x轴
又BC∥x轴,所以MN⊥BC,即MN与BC夹角为π/2
所以对任意α∈(0,π),结论都成立

追问

好厉害的样子，大佬，请问有无初中的更直观的证法？能帮忙再想一下吗，麻烦您了。

追答

初中你要直接证明Q的轨迹是直线,很难.因为直线的定义不像圆或其他什麼椭圆,双曲线,抛物线这样有直观的几何定义(例如圆是到定点的距离等於定长的点的轨迹).如果你不证明Q的轨迹是直线,又怎麼能求出两直线的夹角呢?

Answer 2

如图，借助两个直角三角形相似，确定从动点的轨迹。两个角两边垂直，它们相等或互补。