Question

证明极限存在

x1=10,xn+1(注:n+1为下标)=根号下(6+xn)，证明极限存在，并求该极限。

Answer 1

x1=10,xn+1(注:n+1为下标)=根号下(6+xn)，
x2=√(6+10)=4,
x3=√(6+4)=√10,
x4=√(6+√10)
.....
xn+1=√(6+xn)
下面证明数列xn是有界单调减数列对于n=1,2有x2<x1,
若对于n-1,n也成立xn<xn-1，下面证明对于n,n+1也成立xn+1<xn
xn+1-xn=√(6+xn)-=√(6+xn-1)<0,因为xn<xn-1，
故数列xn是单调减数列，显然有xn>=0,因此数列xn是单调减数列且有下界的数列，
则由单调数列确界定理知，数列xn的极限存在设其为a，
由于有xn+1=√(6+xn)成立，令n趋于无穷有a=√(6+a)，解得：a=3或a=-2（舍）

追问

令n趋于无穷有a=√(6+a)，是不是当n趋近无穷的时候，xn+1=xn？

追答

恩 是的，是这个意思。a=lim(n→∞)xn=lim(n→∞)xn+1