Question

已知函数f(x)的定义域x∈R且x≠0,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2﹚

已知函数f(x)定义域为R，且x≠0，对定义域内的任意X1，X2，都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x＞1时，f(x)＞0，f(2)=1.
解不等式f(2x²-1﹚＜2

要过程！谢谢

Answer 1

这个题要分三步来做：
⑴求证f(x)为偶函数
⑵f(x)在0到正无穷是增函数
⑶解不等式f(2x^2-1)<2

(1)证明.令x1=x2=1，则有f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
令x1=x2=-1，则有f(1)=f(-1)+f(-1)，f(-1)=0
令x1=-1,x2=x，则有
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数；
(2)设0<x1<x2,则x2/x1>1
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
所以f(x)在0到正无穷是增函数
(3)因f(x)在0到正无穷是增函数且f(x)是偶函数，
所以f(x)在负无穷到0是减函数
令x1=x2=2,则有f(4)=f(2)+f(2)=2
则f(-4)=f(4)=2
F(2x²-1)<2=f(4)=f(-4)
则-4<2x²-1<4且2x²-1≠0
解得-√10/2<x<√10/2且x≠±√2/2

Answer 2

这个题要分三步来做：
⑴求证f(x)为偶函数
⑵f(x)在0到正无穷是增函数
⑶解不等式f(2x^2-1)<2

(1)证明.令x1=x2=1，则有f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
令x1=x2=-1，则有f(1)=f(-1)+f(-1)，f(-1)=0
令x1=-1,x2=x，则有
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数；
(2)设0<x1<x2,则x2/x1>1
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
所以f(x)在0到正无穷是增函数
(3)因f(x)在0到正无穷是增函数且f(x)是偶函数，
所以f(x)在负无穷到0是减函数
令x1=x2=2,则有f(4)=f(2)+f(2)=2
则f(-4)=f(4)=2
F(2x²-1)<2=f(4)=f(-4)
则-4<2x²-1<4且2x²-1≠0
解得-√10/2<x<√10/2且x≠±√2/2