Question

一个用泰勒展开求极限的困扰我很久的疑惑！比如xe^x这种，我可以先写出e^x的泰勒展开，再乘以x吗？

还有根号下（cosx），我可以先让cosx=1-x^2/2（假设精确度已足够），再代入（1+x）^α的泰勒公式吗（把-x^2/2视为x）？

Answer 1

想法都是可行的。需要注意的有两点：①满不满足条件的问题，即满足等价无穷小的定义。如果条件满足，就可以进行替换运算。
②关于“精度”问题。如：x→0时，e^x=1+x+O(X)=1+x+x²/(2!)+O(x²)=1+x+x²/(2!) +x³/(3!)+O(x³)=…。故，1+x、1+x+x²/(2!)、1+x+x²/(2!)+x³/(3!)、…，均为e^x的等价无穷小量表达式【均满足定义条件】。解决具体问题时，到底是取前n项(n=1,2,3,或其它)的表达式作为替换的表达式要视其条件而定。一般是，题目中出现幂指数最高是n时，取前“n+1”项即可【不能拘泥于教科书中诸如“sinx~x”之类，仅取n=1的情形】。
例如，求lim(x→0)(x-sinx)/x³。取“sinx~x”无法解；取“x-x³/(3!)”可解；取“x-x³/(3!)+(x^5)/(5!)”完整求解。
题中的问题，对xe^x，可以将“e^x”泰勒展开，再乘以x。√(cosx)，遇有前面描述的问题，即cosx~1-x²/(2!)~1-x²/(2!)+(x^4)/(4!)~……。不妨将其"1"后面的表达式统一设为t【显然，t→0】，应用广义二项展开式，√(cosx)~√(1+t)【设α=1/2】=1+αt+[α(α-1)/(2!)]t²+O(t²)。
此时，t=-x²/(2!)、t=-x²/(2!)+(x^4)/(4!)、或者其它等价量表达式即可。
供参考。

Answer 2

xe^x这种，就是先写出e^x的泰勒展开，再乘以x
根号下（cosx），不可以cosx=1-x^2/2，再代入（1+x）^α的泰勒公式
1。求泰勒展开，不是计算，与精确度无关
2。即使计算，也涉及到二次精度，比如 (1+1/n)^n极限 1+1/n→1，1^n→1！

追问

你好，为什么根号下（cosx），不可以cosx=1-x^2/2，再代入（1+x）^α的泰勒公式呢？我还是没搞明白

追答

你究竟是计算，还是要展开为幂级数？如果计算，不用展开泰勒展式，直接把x的值代入计算，计算机中的计算器可以计算到保留三十几位有效数字，你如果是要展开泰勒展式，如果先展开为1-x^2/2+……那就不能只取前面两项，有多少项就应该写出多少项，只取两项，那不是泰勒展式，那是近似计算，即使是近似计算，第1次所取的近似值，略掉的部分对后面第2次的近似计算有多大的影响？难以估量！n→∞，(1+1/n)^n→e，如果第1次： 1+1/n→1，再第2次：1^n→1！这个结果与极限 e 相差十万八千里。
作为泰勒展示的一个应用——求极限，那不是展开为泰勒展式，而且也不是比较精确度，而是要比较无穷大无穷小的高阶还是低阶，而且也不一定就是取前面两项，这要看题目，具体分析，两次应用泰勒展式，第1次应用泰勒展式必须充分考虑到对第2次应用泰勒展式的影响，

Answer 3

这是没有问题的，而且很多人这么做，但是忽略到哪一项很重要，不是每次都是写到一次导数即可得

追问

你好，我确信根据题中的要求展开到一次导数就够了。就是不太明白这种复合类型的函数可以用泰勒公式一层一层地代换吗？

追答

为什么一次就够了？这要看情况的，你假定每次都一次本身就是错误的

泰勒公式是非常精确的公式，当然可以一层一层带入了

追问

大哥，你这怼我就有点没道理了吧。。。我都说了是题中，那当然是就题论题一道题了，我书上这道题分母就是x²，那我分子当然展开到平方就够了。我哪有说假定每次都只展开到一阶导数。。。因为楼上那位大哥说的跟你不一样，你们一个说代换可以一个说不行，我才不放心多问了。

追答

如果你说某道题中当然没问题了，不过你问的时候可以就题问题，这样比较容易讲清楚
例如你底下追问了两遍还是没说清楚题目到底是什么，如果alpha是常数，当然可以用(1+x)^a次方来计算，但是你不说题目，谁也不知道这个alpha是啥，为啥不能带入

Answer 4

可以，但是有的题目是直接求导或者其它做法