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⑵解答如下:
函数f(x,y)在点(0,0)的全增量
Δf=f(Δx,Δy)-f(0,0)=|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)-|0-0|φ(0,0)
即 Δf=|Δx-Δy|φ(Δx,Δy). ①
⒈当φ(0,0)=0时,丝毫不影响①式。而此时并无任何其他条件可以保证全增量Δf可以写成
Δf=AΔx+BΔy+ο(ρ) ②
的形式,其中A、B是与Δx及Δy无关的常数,ρ=√[(Δx)^2+(Δy)^2].
所以,φ(0,0)=0并不是f(x,y)在(0,0)可微的充分条件。
2.当f(x,y)在点(0,0)可微时,按可微定义有②式成立。对比①与②,有
|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)=AΔx+BΔy+ο(ρ),
上式两端同时除以ρ,得
φ(Δx,Δy) {|Δx-Δy|/√[(Δx)^2+(Δy)^2]}=AΔx/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+BΔy/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+ο(ρ)/ρ. ③
观察③式发现,左端第二个因子是两个同阶无穷小的比。若此时φ(0,0)=0,则由于φ(x,y)在点(0,0)连续,有φ(Δx,Δy)在ρ趋于0时是无穷小。这样,③式左端事实上当ρ趋于0时就是ρ的高阶无穷小与ρ的比,而右端由于第一、第二项却都是同阶无穷小的比,导致右端整体是同阶无穷小的比(此时由于ο(ρ)/ρ的极限是0,其作用可以忽略),矛盾!
上述矛盾说明,f(x,y)在点(0,0)可微时,不一定就有φ(0,0)=0成立,即φ(0,0)=0也不是f(x,y)在点(0,0)可微的必要条件。
函数f(x,y)在点(0,0)的全增量
Δf=f(Δx,Δy)-f(0,0)=|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)-|0-0|φ(0,0)
即 Δf=|Δx-Δy|φ(Δx,Δy). ①
⒈当φ(0,0)=0时,丝毫不影响①式。而此时并无任何其他条件可以保证全增量Δf可以写成
Δf=AΔx+BΔy+ο(ρ) ②
的形式,其中A、B是与Δx及Δy无关的常数,ρ=√[(Δx)^2+(Δy)^2].
所以,φ(0,0)=0并不是f(x,y)在(0,0)可微的充分条件。
2.当f(x,y)在点(0,0)可微时,按可微定义有②式成立。对比①与②,有
|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)=AΔx+BΔy+ο(ρ),
上式两端同时除以ρ,得
φ(Δx,Δy) {|Δx-Δy|/√[(Δx)^2+(Δy)^2]}=AΔx/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+BΔy/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+ο(ρ)/ρ. ③
观察③式发现,左端第二个因子是两个同阶无穷小的比。若此时φ(0,0)=0,则由于φ(x,y)在点(0,0)连续,有φ(Δx,Δy)在ρ趋于0时是无穷小。这样,③式左端事实上当ρ趋于0时就是ρ的高阶无穷小与ρ的比,而右端由于第一、第二项却都是同阶无穷小的比,导致右端整体是同阶无穷小的比(此时由于ο(ρ)/ρ的极限是0,其作用可以忽略),矛盾!
上述矛盾说明,f(x,y)在点(0,0)可微时,不一定就有φ(0,0)=0成立,即φ(0,0)=0也不是f(x,y)在点(0,0)可微的必要条件。
追答
注:细心的读者可能会发现,上述讨论中的所有同阶无穷小的比的极限都是不存在的,这也是为什么没有对③式两边令ρ趋于0取极限的道理,而只能采用无穷小阶的比较的办法解决问题
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