Question

高数。偏导与可微。题目如下图。求详细过程！🙏🏻

第（2）题

Answer 1

⑵解答如下：
函数f(x,y)在点(0,0)的全增量
Δf＝f(Δx,Δy)-f(0,0)＝|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)-|0-0|φ(0,0)
即 Δf＝|Δx-Δy|φ(Δx,Δy). ①
⒈当φ(0,0)＝0时，丝毫不影响①式。而此时并无任何其他条件可以保证全增量Δf可以写成
Δf＝AΔx+BΔy+ο(ρ) ②
的形式，其中A、B是与Δx及Δy无关的常数，ρ＝√[(Δx)^2+(Δy)^2].
所以，φ(0,0)＝0并不是f(x,y)在(0,0)可微的充分条件。
2.当f(x,y)在点(0,0)可微时，按可微定义有②式成立。对比①与②，有
|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)＝AΔx+BΔy+ο(ρ)，
上式两端同时除以ρ，得
φ(Δx,Δy) {|Δx-Δy|/√[(Δx)^2+(Δy)^2]}＝AΔx/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+BΔy/√[(Δx)^2+(Δy)^2]+ο(ρ)/ρ. ③
观察③式发现，左端第二个因子是两个同阶无穷小的比。若此时φ(0,0)＝0，则由于φ(x,y)在点(0,0)连续，有φ(Δx,Δy)在ρ趋于0时是无穷小。这样，③式左端事实上当ρ趋于0时就是ρ的高阶无穷小与ρ的比，而右端由于第一、第二项却都是同阶无穷小的比，导致右端整体是同阶无穷小的比（此时由于ο(ρ)/ρ的极限是0，其作用可以忽略），矛盾！
上述矛盾说明，f(x,y)在点(0,0)可微时，不一定就有φ(0,0)＝0成立，即φ(0,0)＝0也不是f(x,y)在点(0,0)可微的必要条件。

追答

注：细心的读者可能会发现，上述讨论中的所有同阶无穷小的比的极限都是不存在的，这也是为什么没有对③式两边令ρ趋于0取极限的道理，而只能采用无穷小阶的比较的办法解决问题