Question

考研数三2000年18题 关于正定性

题目已经把f（x）化成标准型的样子了 那么正惯性指数p明显就出来了等于n（p=n），那么an不需要什么条件fx就是正定的啊，这思路哪里有问题啊，想半天 求指点拜托🙏

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Answer 1

思路是看A是不是列满秩，因为对任意的非零向量x，x'Bx=(Ax)'(Ax)≥0。A列满秩，则由x≠0得Ax≠0，必有x'Bx＞0。
A的前k行k列构成的k阶顺序主子式是范德蒙德行列式，非零。
所以，当n≥s时，A列满秩，B对称正定。当n＜s时，B半正定。
不过题目的已知条件有点小问题，A中出现的常数是x1,x2,...,xs，则后面对其的限定是xi≠xj，i与j都是从1到n取值。这样就会出现这种情况：比如s=2，n=3。A中一共有x1,x2两个数，而条件是x1,x2,x3互不相等。

追问

我可能太笨了。。完全看不懂。。