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分析：根据极大无关组的定义即可
证明：
令：R(A)=r，R(B)=s，
根据题意：
∃(β1,β2,......βs)∈B，使得∀(α1,α2,....αm)∈A，满足：
(α1,α2,....αm)=(β1,β2,......βs)K，其中：K是s×m矩阵
又∵
(α1,α2,....αm)=(α1,α2,....αr)P，其中α1,α2,....αr是A的一个极大线性无关组
∴
(α1,α2,....αr)P=(β1,β2,......βs)K
(α1,α2,....αr)=(β1,β2,......βs)Q，其中：Q=KP'
上式说明：
(β1,β2,......βs)Q的极大向量无关组必然小于等于其列向量的个数，即：
(α1,α2,....αr)的极大向量无关组必然小于等于(β1,β2,......βs)Q的列向量的个数，
∴
R[(β1,β2,......βs)Q]=R(α1,α2,....αr)≤R(β1,β2,......βs)
即：
r≤s
至于B能否由A线性表示，不影响上述结论1
证明：
令：R(A)=r，R(B)=s，
根据题意：
∃(β1,β2,......βs)∈B，使得∀(α1,α2,....αm)∈A，满足：
(α1,α2,....αm)=(β1,β2,......βs)K，其中：K是s×m矩阵
又∵
(α1,α2,....αm)=(α1,α2,....αr)P，其中α1,α2,....αr是A的一个极大线性无关组
∴
(α1,α2,....αr)P=(β1,β2,......βs)K
(α1,α2,....αr)=(β1,β2,......βs)Q，其中：Q=KP'
上式说明：
(β1,β2,......βs)Q的极大向量无关组必然小于等于其列向量的个数，即：
(α1,α2,....αr)的极大向量无关组必然小于等于(β1,β2,......βs)Q的列向量的个数，
∴
R[(β1,β2,......βs)Q]=R(α1,α2,....αr)≤R(β1,β2,......βs)
即：
r≤s
至于B能否由A线性表示，不影响上述结论1
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哥，这是严格＜，是为啥
你证的＜=
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2024-10-28 广告
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这么简单你不会的吗
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