Question

已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x ，y恒成立，则正实数a的最小值为？？

Answer 1

左式展开得：1+y/x+ax/y+a=y/x+ax/y+a+1
由基本不等式可得：y/x+ax/y≧2√a；
所以(x+y)(1/x+a/y)=y/x+ax/y+a+1≧2√a+a+1=(√a+1)^2
所以：(√a+1)^2≧9
得：√a+1≧3
所以：√a≧2，则a≧4
所以，正实数a的最小值为4

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Answer 2

(x＋y)(1/x＋a/y)≥9 【展开】
1＋a＋[y/x＋ax/y]≥9恒成立，则只需要：
1＋a＋[y/x＋ax/y]的最小值≥9即可。
而y/x＋ax/y≥2√a，所以1＋a＋[y/x＋ax/y]≥1＋a＋2√a，即1＋a＋[y/x＋ax/y]的最小值是1＋a＋2√a，则：
1＋a＋2√a≥9
(√a＋1)²≥9
√a＋1≥3
得：a≥4。即a的最小值是4.

Answer 3

x,y,a为正实数
所以(x+y)(1/x+a/y）=1+a+(y/x)+(ax/y)>=1+a+2（根号a）>=9恒成立
所以[（根号a）+1]^2>=9
(根号a)+1>=3 或(根号a)+1<=-3（舍）
故a的最小值为4

Answer 4

1+y/x+ax/y+a=y/x+ax/y+a+1，由于x、y均为正整数，
所以由不等式的性质可得原式
(x+y)(1/x+a/y)=y/x+ax/y+a+1≧2√a+a+1=(√a+1)^2
由题意可得(√a+1)^2>=9，解得a≧4
故 正实数a的最小值为4