Question

一道高数题求助曲线积分？

Answer 1

在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一点列

把L 分成 n个小弧段

的长度为ds，又

是L上的任一点，作乘积

，并求和即

，记λ=max(ds) ，若

的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及

在L的取法无关，则称极限值为f(x，y)在L上对弧长的曲线积分，记为：

；其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

（上述定义并不完全严谨，给出新的定义）：在矢量场A中，任取一连接点P0与P1的光滑曲线c，此时向量OP0记作R0，向量OP1记作R1，用ΔR表示位于曲线C的切线上，以切点为始点而模

(其中ΔR为粗体）等于弧元ΔR的小矢量，作标积

，A是ΔR始点的矢量，

是A在弧的切线

上的投影。将所有弧元ΔR的标积相加，并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0，求U的极限，所以

。称U为矢量A沿曲线c的曲线积分。

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

如图

Answer 3

楼上刚刚答题思路是对的，不够详细，计算有点小错，我细化一下，如果觉得不错请采纳