Question

求解这个曲线积分

怎么看出对称性的请问？

Answer 1

闭合曲线L为
以O(0，0，0)为球心半径R为2的球面x^2 + y^2 + z^2 = 4 与 平面x + y + z = 1的交线，我们知道球体的任意截平面的曲线为圆。关于对称性，假设曲线L上任意一点(x0,y0,z0)代入方程组，与点(x0,z0,y0)代入方程组方程组形式不变，因此L也具有对称性，形式不变的点还有(y0,x0,z0),(y0,z0,x0),(z0,x0,y0),(z0,y0,x0)
原积分 = ∮（x^2 + y） ds
将上述L上未知对称点对（x,y）做变量代换
原积分 = ∮(x0^2 + y0) ds
原积分 = ∮（x0^2 + z0）ds
原积分 = ∮(y0^2 + x0) ds
原积分 = ∮(y0^2 + z0) ds
原积分 = ∮(z0^2 + x0) ds
原积分 = ∮(z0^2 + y0) ds
具体大概是这样的

Answer 2

∮x²+y)ds＝∮x²ds+∮yds
∮x²＝∮y²＝∮z²
∮y同理
字母改变不改变积分值