Question

高数求极限，求积分

Answer 1

求极限大部分都用了等价无穷小替换和洛必达法则，然后后面有隐函数求导等。

Answer 2

第一题，可以用等价无穷代换或者泰勒公式；第二题利用第二个重要极限；第三个先进行分母有理化然后能求出极限；第四题利用公式就能得出。

Answer 3

没发现有难题，也求助？
1）先对分母作等价无穷小替换，再用洛必达法则，……；
2）重要极限，计算结果是 e^6；
3）分子分母有理化后再求极限；
……

Answer 4

1.lim(x→0) (x-sinx)/x²(e^x-1)
=lim(x→0) (1-cosx)/[x²e^x+2x(e^x-1)]
=lim(x→0) sinx/[x²e^x+4xe^x+2(e^x-1)]
=lim(x→0) cosx/[x²e^x+6xe^x+6e^x]
=1/6
2.lim(x→∞) (1+3/x)=1+lim(x→∞) 3/x=1+0=1
3.lim(x→0) [√(x+1)-1]/[√(x+4)-2]
=lim(x→0) √(x+4)/√(x+1)
=2
4.x=ln(1+t²) y=2t
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2/[2t/(1+t²)]=(1+t²)/t
5.y+xe^y=1
两边同时求微分
dy+e^ydx+xe^ydy=0
(1+xe^y)dy=-e^ydx
dy/dx=-e^y/(1+xe^y)
6.∫xsinxdx=-∫xdcosx=-xcosx+∫cosxdx
=-xcosx+sinx+C
7.∫0→1 x/(x²+1)dx
令x=tanα α∈[0，π/4]
则原式=∫0→π/4 tanα/sec²αdtanα
=∫0→π/4 tanαdα
=-ln|cosα| |0→π/4
=-ln(√2/2)
=ln(√2)=(ln2)/2
8.xy=e^(x+y)
两边同时对x求导得
y+xy'=(1+y')e^(x+y)
y'=[y-e^(x+y)]/[e^(x+y)-x]
9.∫-1→1 (x³-2x²)dx
=1/4 x^4-2/3x³ |-1→1
=1/4-2/3-1/4+(-2/3)
=-4/3
10.y''=1/(1+x²)
y'=arctanx+C1
y=∫arctanxdx +C1x+C2
=xarctanx-∫x/(1+x²)dx +C1x+C2
=xarctanx+ln|cosarctanx|+C1x+C2 ①
令arctanx=t则x=tant=sint/cost
sint=xcost
由于sin²t+cos²t=1
所以(x²+1)cos²t=1
|cost|=√[1/(x²+1)
所以①式=xarctanx-1/2 ln(x²+1)+C1x+C2
所以y''=1/(1+x²)的通解为y=xarctanx-1/2 ln(x²+1)+C1x+C2

追答

第二题题目看错了，其他人已回答，不再赘述。

Answer 5

作业自己写