Question

求下列微分方程特解！

Answer 1

公式编辑器打起太慢

Answer 2

1.特征方程 a^2-4a+3=0,a=1,3
y=Ae^x+Be^(3x),y'=Ae^x+3Be^3x
y(0)=6->A+B=6
y'(0)=10->A+3B=10
B=2,A=4
y=4e^x+2e^(3x)

2.两边同乘e^3x, d(e^3x * y)=8*e^3x*dx
e^3x* y =8/3*e^3x+C
y=8/3+C/e^3x
y(0)=2=>8/3+C=2,C=-2/3
y=8/3-(2/3)e^(-3x)

3.两边同除(1+x^2)(1+y^2)
得到ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)
积分得到
ln(1+y^2)=ln(1+x^2)+C'
1+y^2=e^C'(1+x^2)
=C(1+x^2)
y(0)=1->1+1=C(1+0),C=2
1+y^2=2(1+x^2)
y^2=2*x^2+1
y=根号(2*x^2+1),因为y(0)>1,dy/dx=(1+x^2)/(1+y^2)>0,说明y增
所以y>0,舍去负值

Answer 3

1)y=

2*exp(3*x) + 4*exp(x) 其中exp(x) 表示e^x
2)y=

8/3 - 2/(3*exp(3*x))
3)两边同除(1+x^2)(1+y^2)
得到ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)
积分得到
ln(1+y^2)=ln(1+x^2)+C'
1+y^2=e^C'(1+x^2)
=C(1+x^2)
y(0)=1->1+1=C(1+0),C=2
1+y^2=2(1+x^2)
y^2=2*x^2+1
y=根号(2*x^2+1),因为y(0)>1,dy/dx=(1+x^2)/(1+y^2)>0,说明y增
所以y>0,舍去负值