Question

高中数学题求助谢谢

Answer 1

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
椭圆方程两边同乘mn得：nx² + my²=mn
将直线方程y=1-x代入椭圆方程中：
nx² + m(1-x)²=mn
nx² + m(1-2x+x²) - mn=0
(n+m)x² - 2mx + m-mn=0
根据韦达定理：x1 + x2=2m/(n+m)
则y1 + y2=(1 - x1)+(1 - x2)=2 - (x1 + x2)
=2 - 2m/(n+m)=2n/(n+m)
∴AB的中点M的坐标是(m/(n+m)，n/(n+m))
∵kOM=[n/(n+m) - 0]/[m/(n+m) - 0]
=[n/(n+m)]/[m/(n+m)]=n/m=√2/2
∴m/n=√2
选D

Answer 2

解：设椭圆（x^2）/m+（y^2）/n=1与直线y=1-x相交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点
①因为A,B两点在椭圆上：
（x1^2）/m+（y1^2）/n=1
（x2^2）/m+（y2^2）/n=1
两式相减，得：
（x1-x2)(x1+x2)/m+(y1-y2)(y1+y2)/n=0
=>［ -(y1-y2)/(x1-x2)］*（m/n）=(x1+x2)/(y1+y2)
②又因为A,B在直线上：
(y1-y2)/(x1-x2)=k=-1
=> m/n=(x1+x2)/(y1+y2)
③令A,B的中点为C（x0,y0）
则x0=(x1+x2)/2 ; y0=(y1+y2)/2
=> m/n=x0/y0
④因为直线CO斜率k0=(y0-0)/(x0-0)=（√2）/2
=> m/n= 1/k0=√2
所以选D。