Question

数学圆锥曲线中抛物线过焦点的直线长的公式

Answer 1

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点f作倾斜角为θ的直线l,l与抛物线相交于a（x1,y1)，b(x2,y2),有
①
x1*x2
=
p^2/4
,
y1*y2
=
—p^2
②
焦点弦长：|ab|
=
x1+x2+p
=
2p/[(sinθ)^2]
③
（1/|fa|）+（1/|fb|）=
2/p
④若oa垂直ob则ab过定点m（2p，0）
⑤焦半径：|fp|=x+p/2
（抛物线上一点p到焦点f距离等于到准线l距离）
⑥弦长公式：ab=x1+x2+p
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

Answer 2

设出直线方程y=k(x-p／2)带入抛物线方程，求出x1x2关系，
用弦长公式=√（k²＋1）√((x1+x2)²-4x1x2)

Answer 3

圆不是圆锥曲线，圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
椭圆的第一定义:
平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆的第二定义
平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数
双曲线定义1：
平面内，到两给定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹称为双曲线。
双曲线定义2：
平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线。
抛物线只有一个定义：
平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外
,
F
称为"抛物线的焦点",
l
称为"抛物线的准线"。
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L
=
4a
*
sqrt(1-e^sin^t)的(0
-
pi/2)积分,
其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
①
x1*x2
=
p^2/4
,
y1*y2
=
—P^2
②
焦点弦长：|AB|
=
x1+x2+P
=
2P/[(sinθ)^2]
③
（1/|FA|）+（1/|FB|）=
2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
⑤焦半径：|FP|=x+p/2
（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)，
A’(a,0)。同时
AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.
B(0,-b)，
B’(0,b)。同时
BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x.
圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e,
x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e
,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1
上的点在渐近线中
设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则
y=（b/a）√（x^2-a^2)
(x>a)
因为x^2-a^2

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