Question

方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解（x,y,z）的个数是

Answer 1

当题目是求x＜y＜z的解时，
首先将所有的正整数解算出来：
当x＝1时，y取1－2008，相应地，z取2008－1，共有2008个解，
当x＝2时，y取1－2007，相应地，z取2007－1，共有2007个解，
..........
当x＝2008时，y取1，相应地，z1，共有1个解。
加起来，1+2+3+.....+2008=(1+2008)×2008/2＝2009x1004。
注意，这包括了许多相等的解，以及即便不等，但x＞y等等的解，需要去除。
分三类：
1）zyx,,均相等的正整数解的个数显然为1；
2）zyx,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003
（如x＝y，必有z为偶数，z可以取2、4、...2008，共1004种，但要去除x＝y＝z＝670这一种）
这里面有三种情况，即x=y，y＝z，z＝x，每一种都是1003个。
3)设zyx,,两两均不相等的正整数解为k
个，这里面按大小分共有6种情况：
即x最大，两种，y最大，两种，z最大，两种。我们只去求其中z最大，x最小的那种，设为K。
所以，1+3x1003+6k=2009x1004
k=335671
，这个解是x＜y＜z的解。
但是，你的题目是
方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解（x,y,z）的个数
因此，此题的解应该考虑相等的情况。
当x＝y＜z时，x＝y可以取1－669，共669种
当x＜y＝z时，y＝z可以取671－1004，共334种
，
当x＝y＝z时，1种，
k＝
335671
+669+334+1＝336675种。这是你这道题的答案。

Answer 2

共有336675个
1+
1003+35671=336675
（1）x,
y,
z均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）x,
y,
z中有且仅有2
个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设x,
y,
z两两均不相等的正整数解为k
.
易知
1+3*1003+6k=2009*1004
所以k=335671

谭越，呵呵呵呵！………………