Question

设A B都是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 求详解~!

Answer 1

证明:必要性
由于A，B都是n阶正定矩阵，根据正定矩阵的定义，A，B都是n阶对称矩阵，即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵)。若AB正定，则
AB也是对称矩阵，从而AB=(AB)'=B'A'=BA.即证得了AB=BA。
充分性
若AB=BA，则(AB)'=B'A'=BA=AB,这说明AB实对称。
其次，由于A，B都是n阶正定矩阵，从而A，B都与单位矩阵合同，于是存在两个可逆实矩阵P,Q，使得A=P'P,B=Q'Q,
进而AB=P'PQ'Q。
注意到P'PQ'Q=Q^(-1)(QP'PQ')Q,这说明P'PQ'Q与)QP'PQ'相似，
另外，QP'PQ'=(PQ')'(PQ'),根据P,Q都是可逆实矩阵，PQ'也是可逆实矩阵，因此QP'PQ'正定，所以QP'PQ'的特征值都是正实数。
由于相似的矩阵具有相同的特征值，故AB=P'PQ'Q的特征值都是正实数。这就证明了AB正定。

Answer 2

证明：先证明a是
n阶对称矩阵充分必要条件是a＝a＾t
设a＝(aij)n*n　　a^t=(bij)n*n
aij=bji
1<=i,j<=n
当a是对称矩阵时，aij=aji
(n*n)，当然有a=a^t
当a＝a＾t时，aij=aji，即a是对称矩阵

已知a、b
是n阶对称矩阵时,a=a^t
b=b^t
若ab是对称矩阵，(ab)^t=b^ta^t=ba
故是充分条件
若ab=ba，两边转置有：(ab)^t=(ba)^t
即：(ab)^t=a^tb^t　
(ab)^t=ba
故ab是对称矩阵，
故原命题成立　

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示