Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（X）的全体，在定义域D内存在X1，使得f（X1+1)=f（X1)+f（1）成立

①函数f（X）=1／X 是否属于集合M？试说明理由
②若函数f（X）=KX+b属于集合M，试求实数K和b的取值范围
③设函数f（X）=㏒10（a／X²+1）属于集合M，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)令f(x+1)=f(x)+f(1)
即1/(1+x)=1/x+1,整理得x^2+x+1=0,无实根，在R内，f（X）不属于集合M
（2）令f(x+1)=f(x)+f(1)
即KX+b+k=KX+b+K+b有解，解得b=0,K可以为任意实数
（3）易知a>0
令f(x+1)=f(x)+f(1)
即lg(a/(x+1)^2+1)=lg(a/x^2+1)+lg(a/2)有解
即a/[(x+1)^2+1]=a^2/2(x^2+1)
整理得(a-2)x^2+2ax+2a-2=0有解
当a=2，有解
当a≠2时，Δ=(2a)^2-4(a-2)(2a-2)≥0,解得3-√5≤a≤3+√5
综上3-√5≤a≤3+√5

Answer 2

解：因为f(x)=2^x时，f(x0+1)=2^（x0+1），f(x0)=2^x0,f(1)=2
若f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则2^（x0+1）=2^x0+2， 解得x0=1
所以函数f(x)=2^x属于集合M

2 因为函数f（x）=lg（a/（（x^2）+1））属于M，有 f(x0+1)=f(x0)+f(1)
即 lg（a/（（（x0+1）^2）+1））=lg（a/（（x0^2）+1））=lg（a/2）
化简得：a=2(x0^2+1）/（x0^2+2x0+1) （由真数大于0知a大于0）
由判别式法或 导数法可求得0＜a＜3+√13

Answer 3

不是

追问

额 ， 第二问呢...

Answer 4

解
不
来

Answer 5

（1）f(x1+1)=f(x1)+f(1)
1/(x1+1)=1/x1+1
x1=x1+1+x1^2+x1
x1^2+x1+1=0
△=1^2-4=-3<0
所以没有使得f(x1+1)=f(x1)+f(1)成立的x1
则f(x)=1/x不属于集合m
(2)
k(x1+1)+b=kx1+b+k+b
b=0，k是任意实数
(3)
易知a>0
令f(x1+1)=f(x1)+f(1)
即lg(a/(x1+1)^2+1)=lg(a/x1^2+1)+lg(a/2)有解
即a/[(x1+1)^2+1]=a^2/2(x1^2+1)
整理得(a-2)x1^2+2ax1+2a-2=0有解
当a=2，有解
当a≠2时，δ=(2a)^2-4(a-2)(2a-2)≥0,解得3-√5≤a≤3+√5
综上3-√5≤a≤3+√5