Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

Answer 1

解：（1）a=bsin(π／4+C)-csin(π／4+B)=bsin(A+C)-csin(A+B)=bsinB-csinC
①
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
(R为三角形ABC外接圆半径)
得
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
代入①式可得
2RsinA=2R(sinB)^2-2R(sinC)^2
于是
sinA=(sinB)^2-(sinC)^2=(1-cos2B)/2-(1-cos2C)/2=-(cos2B-cos2C)/2
=sin(B+C)sin(B-C)=sinAsin(B-C)
因sinA≠0，故有sin(B-C)=1，则B-C=π/2
（2）由正弦定理得2R=a/sinA=√2/(sinπ/4)=2
故b=2RsinB,c=2RsinC
故S△ABC=1/2*bcsinA=1/2*2RsinB*2RsinC*sin(π/4)
=1/2*2sinB*2sinC*√2/2
=√2/2*2sinBsinC=√2/2*[cos(B-C)-cos(B+C)]
=√2/2*[0-cos(3π/4)]=1/2
其中B+C=π-A=3π/4。

Answer 2

A,B,C成等差数列得2B=A+C
推出B=60
由向量BA点乘向量BC=3/2
且b=根号3得:
向量BA·向量BC=ac*cos60=3/2;推出ac=3
由余弦定理得:b^2=a^2+c^2-2accosB
B=60
推出a^2+c^2=6;根据已经求出的ac=3
因为(a+c)^2=a^2+c^2+2ac
得:a+c=根号(a^2+c^2+2ac)=根号12
(2)
A+C=2B=120度
0<A<=60
sinc=sin(120-A)
2sinA-Sinc=2sinA-sin(120-A)
=2sina-sin120cosA+cos120sinA
=(3/2)sinA-(√3/2)cosA
=√3*[(√3/2)sinA-0.5cosA]
=√3*(cos30
sinA-sin30cosA)
=√3*sin(A-30)
以为0<A<=60
所以
-
30<A-30<=30
-0.5<sin(A-30)<=0.5
所以-0.5√3<2sinA-Sinc<=0.5√3